Définition
Définition :
On définit l'orbite de \(x\) sous \(G\) comme : $${{\omega(x)}}={{\{g.x\mid g\in G\} }}$$
(
Action de groupe - Translation)
Propriétés
Orbites sont égaux ou disjoints
$$x_2\notin\omega(x_1)\implies{{\omega(x_1)\cap\omega(x_2)=\varnothing}} }}$$
$$x_2\in\omega(x_1)\implies{{\omega(x_1)=\omega(x_2)}} }}$$
Relation d'équivalence
La relation \(x\sim x^\prime\iff\exists g\in G,x^\prime=g.x\) est une relation d'équivalence
Ses classes d'équivalences sont les orbites
D'où le fait que les orbites sont soit disjointes soit confondues
Bijection canonique
Lemme :
Soit \(x\in X\) avec \(X\) homogène
Alors l'application : $$\begin{align} {{G/G_x}}&\longrightarrow {{X}}\\ {{\bar g}}&\longmapsto {{g.x}} \end{align}$$ est une bijection
\(\forall x\in X\), on a la bijection canonique : $$\begin{align} {{G/G_x}}&\longrightarrow{{\omega(x)}}\\ {{\bar g}}&\longmapsto{{ gx}}\end{align}$$
(
Stabilisateur)
Nombre d'orbites (cas fini)
Formule de Burnside
